[전기자기학] 국가직 7급 해설 2018년

 

 

답 (나 책형) : ④ ② ④ ① ③ / ② ④ ② ② ① / ③ ③ ① ④ ② / ④ ② ① ③ ①

 

 

 

문 1. 자유공간에서 정전기장을 발생시키는 전하에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

① 시간에 따라 위치변화가 없다.

② 시간에 따라 전하량이 변하지 않는다.

③ 시간에 따라 극성이 바뀌지 않는다.

④ 보존장(conservative field)을 생성하지 않는다.

정답: ④

 

정전기장은 시간에 따라 전하의 분포가 변하지 않는 정지된 상태의 전하에 의해 형성되는 장입니다. 전하가 움직이지 않으므로 전계의 세기는 오직 위치의 함수로만 나타나며, 에너지 보존 법칙이 성립하는 물리적 특성을 가집니다.

[해설 핵심]

정전기장은 전위를 정의할 수 있는 보존장(Conservative Field)입니다. 보존장의 수학적 조건인 $\nabla \times \vec{E} = 0$을 만족하며, 폐회로를 따라 전하를 이동시킬 때 수행한 총 일의 양은 0이 됩니다. 따라서 보존장을 생성하지 않는다는 설명은 옳지 않습니다.

 

 

 

 

 

문 2. 자기 인덕턴스가 20 [mH]인 코일에 흐르는 전류가 0.1 [s] 동안 5 [A]에서 3 [A]로 선형적으로 감소하였다. 코일에 유기된 기전력[V]의 크기는?

① 0.2

② 0.4

③ 0.6

④ 0.8

정답: ②

 

코일에 흐르는 전류가 시간에 따라 변하면 코일 내부를 통과하는 자속이 변하게 됩니다. 패러데이의 전자기 유도 법칙에 의해 이 자속 변화를 방해하려는 방향으로 기전력이 유도되는데, 그 크기는 인덕턴스와 전류의 시간 변화율에 비례합니다.

[해설 핵심]

유기 기전력의 크기 $e$는 다음 공식을 사용하여 계산합니다.

$e = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$

주어진 값들을 대입하면, $e = 20 \times 10^{-3} \times \frac{|3 - 5|}{0.1} = 20 \times 10^{-3} \times 20 = 0.4$ [V]입니다.

 

 

 

 

문 3. 자유공간에 반지름이 a이고 무한히 긴 비자성 원통 도체에 전류 I [A]가 흐르고 있다. 원통 도체의 중심축에서부터 r [m] 떨어진 점까지의 거리에 대한 자계의 크기를 나타낸 그래프는?

정답: ④

 

무한히 긴 원통 도체 내부와 외부에서 형성되는 자계의 세기는 앙페르의 주회법칙($\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{enclosed}$)을 통해 구할 수 있습니다. 전류가 도체 단면에 균일하게 흐른다고 가정할 때, 측정 지점 $r$의 위치에 따라 포함되는 전류의 양이 달라지는 점이 핵심입니다.

[해설 핵심]

• 도체 내부 ($r < a$): 앙페르 경로 내부에 포함된 전류는 전체 전류 중 면적비($\frac{\pi r^2}{\pi a^2}$)만큼입니다. 따라서 자계의 세기 $H$는 거리 $r$에 비례하여 선형적으로 증가합니다 ($H = \frac{Ir}{2\pi a^2}$).
• 도체 외부 ($r > a$): 앙페르 경로가 전체 전류 $I$를 모두 포함하므로, 자계의 세기 $H$는 거리 $r$에 반비례하여 감소합니다 ($H = \frac{I}{2\pi r}$).
• 따라서 중심에서 $a$까지 직선으로 증가하다가 $a$ 이후 반비례 곡선으로 감소하는 ④번 그래프가 정답입니다.

 

 

 

 

문 4. 그림과 같이 내부 임피던스가 512 [$\Omega$]인 앰프와 8 [$\Omega$]인 스피커가 있다. 임피던스를 정합하기 위한 변압기(transformer)의 권선수 비(N : 1)는? (단, 변압기는 이상적이다)

① 8 : 1

② 16 : 1

③ 64 : 1

④ 128 : 1

정답: ①

 

서로 다른 임피던스를 가진 두 장치를 직접 연결하면 신호 반사가 일어나 에너지가 효율적으로 전달되지 않습니다. 변압기는 권선비를 이용해 한쪽의 임피던스를 다른 쪽의 기준에 맞춰 변환해 주는 '임피던스 변환기' 역할을 수행하여 최대 전력 전달을 가능하게 합니다.

[해설 핵심]

변압기의 임피던스 변환 관계식 $\frac{Z_1}{Z_2} = \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2$를 이용합니다.

여기서 $Z_1 = 512$, $Z_2 = 8$, 권선비 $N_1:N_2 = N:1$이므로,

$\frac{512}{8} = 64 = N^2 \Rightarrow N = 8$

따라서 권선비는 8 : 1입니다.

 

 

 

 

 

문 5. 전기쌍극자모멘트가 $3\vec{a}_z$ [nC․m]와 $6\vec{a}_z$ [nC․m]인 쌍극자가 자유공간 내의 점(0, 0, －1) [m]와 (0, 0, 3) [m]에 각각 놓여 있다. 원점에서의 전위[V]는? (단, 자유공간의 유전율 $\epsilon_0 = \frac{10^{-9}}{36\pi}$ [F/m]이다)

① $\frac{21}{9}$

② $\frac{33}{9}$

③ 21

④ 33

정답: ③

전기쌍극자는 크기가 같고 부호가 반대인 두 전하가 매우 가까운 거리로 떨어져 있는 구조를 말합니다. 이 쌍극자에 의해 임의의 지점에 형성되는 전위는 각 쌍극자가 만드는 전위를 각각 구하여 더하는 중첩의 원리를 통해 계산할 수 있습니다.

 

[해설 핵심]

쌍극자에 의한 전위 공식 $V = \frac{\vec{p} \cdot \vec{a}_r}{4\pi\epsilon_0 r^2}$을 적용합니다. ($k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9$)

1. $p_1=3\vec{a}_z$ (0,0,-1)에 의한 원점 전위: 원점에서 쌍극자를 바라보는 방향벡터 $\vec{a}_r$은 $-\vec{a}_z$ (원점에서 소스 쪽)이 아닌, 소스에서 원점을 향하는 방향인 $\vec{a}_z$입니다. $V_1 = \frac{(3 \times 10^{-9}\vec{a}_z) \cdot \vec{a}_z}{4\pi\epsilon_0 (1)^2} = 3 \times 9 = 27$ [V]
2. $p_2=6\vec{a}_z$ (0,0,3)에 의한 원점 전위: 소스(0,0,3)에서 원점을 향하는 방향벡터 $\vec{a}_r$은 $-\vec{a}_z$입니다. $V_2 = \frac{(6 \times 10^{-9}\vec{a}_z) \cdot (-\vec{a}_z)}{4\pi\epsilon_0 (3)^2} = \frac{-6 \times 9}{9} = -6$ [V]
3. 총 전위: $V = V_1 + V_2 = 27 - 6 = 21$ [V]

 

 

 

 

문 6. 자유공간에 x축으로 놓인 무한도선에 전류 1 [A]가 ＋x 방향으로 흐르고 있다. －10 [C]의 점전하가 속도 100 [m/s]로 좌표(0, 2, 0) [m]에서 좌표 (2, 2, 0) [m] 방향으로 이동하였다. 점전하가 받는 힘[N]은? (단, 전하의 질량은 무시한다. $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ [H/m])

① $-10^{-2}\vec{a}_x$

② $10^{-4}\vec{a}_y$

③ $-2 \times 10^{-3}\vec{a}_z$

④ $2 \times 10^{-3}\vec{a}_z$

정답: ②

 

전류가 흐르는 도선 주변에는 자기장이 형성됩니다. 이 자기장 내에서 전하가 특정 속도로 이동할 때, 전하는 자기력(로런츠 힘)을 받게 됩니다. 힘의 크기와 방향은 전하량, 속도 벡터, 자기장 벡터의 외적을 통해 결정됩니다.

[해설 핵심]

1. 자기장($B$) 계산: 무한 직선 도선에 의한 (0,2,0) 지점의 자속밀도 $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{a}_\phi$. 앙페르 법칙에 의해 $+x$방향 전류에 대해 (0,2,0) 지점에서는 $+z$ 방향 자계가 형성됩니다. $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1}{2\pi \times 2} \vec{a}_z = 10^{-7} \vec{a}_z$ [T]
2. 자기력($F$) 계산: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
   • $q = -10$ [C], $\vec{v} = 100 \vec{a}_x$ [m/s]
   • $\vec{F} = -10 \times (100 \vec{a}_x \times 10^{-7} \vec{a}_z) = -10 \times (10^{-5} \times (-\vec{a}_y)) = 10^{-4} \vec{a}_y$ [N]

 

 

 

 

문 7. 자유공간상의 xy 평면 위에 놓인 폐선로에 저항 $R_1, R_2$ [$\Omega$]가 각각 연결되어 있다. 자속밀도 $\vec{B} = 2t\vec{a}_z$ [T]가 그림과 같이 인가될 때 저항 $R_1, R_2$에서 각각의 전압강하 $V_1, V_2$ [V]는? (단, $t$는 시간[s]이고 폐선로의 면적은 4 [$m^2$]이다)

① -0.75 -1.25

② -1.25 -0.75

③ -3 -5

④ -5 -3

정답: ④

 

시변 자기장(시간에 따라 변하는 자기장)이 폐회로를 통과하면 회로에는 유도 기전력이 발생합니다. 이 유도 기전력은 회로에 연결된 저항들에 분배되며, 렌츠의 법칙에 따라 자속의 변화를 방해하는 방향으로 극성이 결정됩니다.

[해설 핵심]

1. 유도 기전력($e$) 계산: $e = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d(B \cdot S)}{dt} = -\frac{d(2t \cdot 4)}{dt} = -8$ [V]
2. 전압 분배: 전체 기전력 8V가 $R_1(10\Omega)$과 $R_2(6\Omega)$에 직렬로 분배됩니다.
   • $V_{R1} = 8 \times \frac{10}{10+6} = 5$ [V]
   • $V_{R2} = 8 \times \frac{6}{10+6} = 3$ [V]
3. 방향 고려: 자속이 $+z$로 증가하므로 전류는 오른나사 법칙의 반대 방향(시계 방향)으로 흐르려 합니다. 문제 도식의 전압 극성 방향과 대조하면 전류가 전압의 $(-)$에서 $(+)$로 흐르는 꼴이 되므로 $V_1 = -5$, $V_2 = -3$이 됩니다.

 

 

 

 

문 8. 비유전율 4, 비투자율 1인 유전체로 채워진 특성임피던스가 50 [$\Omega$]이고 길이 3/160 [m]인 동축 선로가 있다. 무손실 동축선로는 1 [GHz]에서 동작하고 선로 종단에는 부하 임피던스 $Z_L = 50 + j50$ [$\Omega$]이 연결되어 있다. 이 동축 선로의 입력 임피던스 [$\Omega$]는?

① 50 － j50

② 100 － j50

③ 50 ＋ j50

④ 100 ＋ j50

정답: ②

 

전송 선로의 입력 임피던스는 선로의 특성 임피던스, 선로의 길이, 그리고 종단에 연결된 부하 임피던스에 의해 결정됩니다. 특히 선로의 길이를 파장($\lambda$) 단위로 환산하여 위치에 따른 임피던스 변화를 계산하는 것이 중요합니다.

[해설 핵심]

1. 파장($\lambda$) 계산: 유전체 내 속도 $v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{4}} = 1.5 \times 10^8$ [m/s]
   • $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1.5 \times 10^8}{10^9} = 0.15 = \frac{15}{100}$ [m]
2. 선로 길이($l$) 환산: $l = \frac{3}{160}$ [m]
   • $\lambda$와 비교: $\frac{l}{\lambda} = \frac{3/160}{15/100} = \frac{3}{160} \times \frac{100}{15} = \frac{1}{53.33} \times 6.66 \approx \frac{1}{8}$
   • 즉, $l = \frac{\lambda}{8}$ 선로입니다.
3. 입력 임피던스 계산: $\frac{\lambda}{8}$ 선로에서 $Z_{in} = Z_0 \frac{Z_L + jZ_0 \tan(\beta l)}{Z_0 + jZ_L \tan(\beta l)}$ 공식을 사용합니다. $\beta l = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$, $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
   • $Z_{in} = 50 \frac{(50+j50) + j50}{50 + j(50+j50)} = 50 \frac{50+j100}{50-50+j50} = 50 \frac{50+j100}{j50} = \frac{50+j100}{j} = 100 - j50$ [$\Omega$]

 

 

 

문 9. 평행판 커패시터에 사용되는 유전체 내부의 분자들이 외부에서 인가된 전계 $\vec{E} = -100z\vec{a}_z$ [V/m]에 의하여 모두 분극되었다. 분극 체적전하밀도[C/m³]는? (단, 유전체의 비유전율은 3이고, $\epsilon_0$는 자유공간의 유전율이다)

① $200\epsilon_0z$

② $200\epsilon_0$

③ $-200\epsilon_0z$

④ $-200\epsilon_0$

정답: ②

 

유전체에 전계가 가해지면 내부 전하들이 미세하게 변위하며 분극 현상이 일어납니다. 이때 분극의 정도를 나타내는 분극 세기($\vec{P}$)가 공간적으로 불균일하게 분포하면 유전체 내부에 분극 체적전하가 형성됩니다.

[해설 핵심]

• 분극의 세기 $\vec{P} = \epsilon_0(\epsilon_r - 1)\vec{E} = \epsilon_0(3-1)(-100z\vec{a}_z) = -200\epsilon_0z\vec{a}_z$.
• 분극 체적전하밀도 $\rho_{pv} = -\nabla \cdot \vec{P}$ 공식을 적용합니다.
• $\rho_{pv} = -(\frac{\partial}{\partial z})(-200\epsilon_0z) = 200\epsilon_0$ [C/m³]입니다.

 

 

 

 

문 10. 반경 $\rho_0 = 8$ [cm], $a = 1$ [cm]이고 강철($\mu = 1,000\mu_0$)로 이루어진 토로이드 코어에 권선수 100회의 도선이 촘촘히 감겨 있다. 코어 내의 자속이 0.4 [mWb]가 되기 위한 전류 $I$ [A]는? (단, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ [H/m])

① $\frac{16}{\pi}$

② $\frac{32}{\pi}$

③ $\frac{64}{\pi}$

④ $\frac{128}{\pi}$

정답: ①

 

자기회로에서 자속($\Phi$), 기자력($NI$), 자기저항($R_m$)의 관계는 전기회로의 옴의 법칙과 유사한 $\Phi = \frac{NI}{R_m}$ 관계를 가집니다. 토로이드 코어의 형상과 재질 특성을 이용해 필요한 전류를 산출할 수 있습니다.

[해설 핵심]

• 자기저항 $R_m = \frac{l}{\mu S} = \frac{2\pi \rho_0}{\mu (\pi a^2)}$.
• 기자력 $NI = \Phi R_m \Rightarrow I = \frac{\Phi R_m}{N}$.

 

 

 

문 11. 도전율 $\sigma$, 투자율 $\mu$인 도체에 주파수 $f$인 교류전류가 흐른다. 표피두께(skin depth)에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 표피두께는 도전율이나 투자율과는 무관하다.

② 투자율이 클수록 표피두께가 증가한다.

③ 도전율이 클수록 표피두께가 감소한다.

④ 주파수가 높을수록 표피두께가 증가한다.

정답: ③

 

도체에 교류가 흐를 때 표면으로 전류가 집중되는 표피 효과를 정량화한 것이 표피두께입니다. 매질의 전기적, 자기적 성질과 전자기파의 주파수에 따라 전류가 침투하는 깊이가 달라집니다.

[해설 핵심]

• 표피두께 공식 $\delta = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$을 통해 판단합니다.
• 분모에 위치한 주파수($f$), 투자율($\mu$), 도전율($\sigma$)이 커질수록 표피두께($\delta$)는 작아집니다.
• 따라서 도전율이 클수록 표피두께가 감소한다는 ③번이 옳습니다.

 

 

 

 

문 12. 선형, 균질성, 등방성(linear, homogeneous, isotropic) 완전 유전체에서 변위전류가 발생하는 원인으로 옳은 것은?

① 분극 전하밀도의 공간적 변화

② 유전율의 공간적 변화

③ 전속밀도의 시간적 변화

④ 투자율의 공간적 변화

정답: ③

 

맥스웰은 회로가 끊겨 있는 커패시터 내부에서도 전자기장이 전달되는 것을 설명하기 위해 변위전류 개념을 도입했습니다. 이는 실제 전하의 이동이 아닌 장(field)의 변화에 의한 전류입니다.

[해설 핵심]

• 맥스웰 방정식 $\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$에서 $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$가 변위전류 밀도입니다.
• 변위전류는 전속밀도($\vec{D}$)의 시간적 변화에 의해 발생합니다.

 

 

 

 

문 13. 내구 반지름 $a$ [m], 외구 반지름 $b$ [m]인 동심 도체구의 내․외구에 $\pm Q$ [C]의 전하가 각각 대전되어 있다. 내․외구 반지름을 각각 3배로 증가시키면 정전용량은 몇 배가 되는가?

① 3

② 9

③ 27

④ 81

정답: ①

 

정전용량은 전하를 축적하는 능력을 나타내며, 구조물의 기하학적 형상에 따라 결정됩니다. 동심 구형 커패시터의 경우 반지름의 크기에 비례하는 특성을 가집니다.

[해설 핵심]

• 동심 도체구의 정전용량 공식 $C = \frac{4\pi \epsilon ab}{b - a}$를 이용합니다.
• 반지름을 각각 3배($3a, 3b$)로 하면: $C' = \frac{4\pi \epsilon (3a)(3b)}{3b - 3a} = \frac{9 \cdot 4\pi \epsilon ab}{3(b - a)} = 3C$.
• 따라서 정전용량은 3배가 됩니다.

 

 

 

 

문 14. 결합계수 1인 두 코일 A, B가 있다. 코일 A의 전류가 25 [A/s]로 변할 때, 코일 A에 25 [V], 코일 B에 50 [V]의 기전력이 유기되었다. 이때 코일 B의 자기 인덕턴스[H]는?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

정답: ④

 

인덕턴스는 자기 자속에 의한 자기 인덕턴스와 상대방 코일 자속에 의한 상호 인덕턴스로 나뉩니다. 두 코일의 결합 정도와 각각에 유도되는 기전력의 비를 통해 인덕턴스 값을 유도할 수 있습니다.

[해설 핵심]

• 코일 A의 자기기전력 $V_A = L_A \frac{di_A}{dt} \Rightarrow 25 = L_A \cdot 25 \Rightarrow L_A = 1$ [H].
• 코일 B의 상호기전력 $V_B = M \frac{di_A}{dt} \Rightarrow 50 = M \cdot 25 \Rightarrow M = 2$ [H].
• 결합계수 $k = \frac{M}{\sqrt{L_A L_B}} = 1 \Rightarrow M^2 = L_A L_B$.
• $2^2 = 1 \cdot L_B \Rightarrow L_B = 4$ [H]입니다.

 

 

 

 

 

문 15. 1 [pF] 커패시터와 0.1 [mH] 인덕터로 이루어진 LC 공진회로에 의해 생성된 신호가 자유공간으로 전파된다고 할 때, 이 전자파의 파장[m]은?

① $5\pi$

② $6\pi$

③ $7\pi$

④ $8\pi$

정답: ②

 

LC 회로는 특정 주파수에서 공진하며 전자기파를 발생시킵니다. 발생한 전자기파는 빛의 속도로 전파되는데, 주파수와 속도의 관계를 통해 파장을 구할 수 있습니다.

[해설 핵심]

• 공진주파수 $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-12} \cdot 10^{-4}}} = \frac{10^8}{2\pi}$ [Hz].
• 파장 $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^8 / 2\pi} = 6\pi$ [m]입니다.

 

 

 

 

문 16. 그림과 같이 비유전율 $\epsilon_{r2} = \epsilon_{r1}/2$인 두 완전 유전체가 $z=0$ 평면을 경계면으로 접해 있다. $z < 0$에서 경계면으로 입사하는 평면파의 각주파수가 $\omega = 3 \times 10^8$ [rad/s]이고 전계 $\vec{E}_i = 10(\vec{a}_x \cos 60^\circ - \vec{a}_z \sin 60^\circ)e^{-j\sqrt{3}(x \sin 60^\circ + z \cos 60^\circ)}$ [V/m]일 때, 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

① $\epsilon_{r1} = 3$이다.

② $z > 0$으로 투과한 평면파의 자기장 편파 방향은 $+\vec{a}_y$이다.

③ 전투과가 일어나는 브루스터각(Brewster angle)은 $60^\circ$이다.

④ 전반사가 일어나는 임계각(Critical angle)은 $60^\circ$이다.

정답: ④

 

전자기파가 서로 다른 매질의 경계면에 입사하면 반사와 투과가 일어납니다. 입사파의 수식에서 위수 상수를 통해 매질의 특성을 파악하고, 경계 조건에 따른 브루스터각과 임계각의 성질을 묻는 문제입니다.

[해설 핵심]

• 위상 상수 $\beta_1 = \sqrt{(\sqrt{3}\sin 60^\circ)^2 + (\sqrt{3}\cos 60^\circ)^2} = \sqrt{3}$.
• $\beta_1 = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0 \epsilon_{r1}} = \frac{\omega}{c}\sqrt{\epsilon_{r1}} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^8}\sqrt{\epsilon_{r1}} \Rightarrow \epsilon_{r1} = 3$ (① 옳음).

 

 

 

 

문 17. 자유공간에서 전위가 $V = 2(x^2 + y^2)$ [V]일 때, 체적전하밀도 [C/m³]는? (단, $\epsilon_0$는 자유공간의 유전율이다)

① $-\frac{8}{\epsilon_0}$

② $-8\epsilon_0$

③ $-\frac{4}{\epsilon_0}$

④ $-4\epsilon_0$

정답: ②

 

공간상에 분포된 전위와 전하 밀도 사이의 관계는 가우스 법칙의 미분형에서 유도된 포아송 방정식($\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon}$)으로 설명됩니다. 전위의 공간적 변화율(곡률)이 곧 그 지점의 전하 존재 여부를 결정합니다.

[해설 핵심]

• 포아송 방정식 $\nabla^2 V = -\frac{\rho_v}{\epsilon_0}$을 이용합니다.
• $\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$를 계산합니다.
  • $\frac{\partial V}{\partial x} = 4x \Rightarrow \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = 4$
  • $\frac{\partial V}{\partial y} = 4y \Rightarrow \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 4$
  • $z$ 성분은 없으므로 0입니다.
• 따라서 $\nabla^2 V = 4 + 4 = 8$입니다.
• $8 = -\frac{\rho_v}{\epsilon_0} \Rightarrow \rho_v = -8\epsilon_0$ [C/m³]입니다.

 

 

 

 

문 18. 평면파인 1 [MHz]의 전자기파가 자유공간에서 호수 표면으로 수직 입사하고 있다. 호수의 유전율과 투자율은 각각 $\epsilon = 81\epsilon_0, \mu = \mu_0$이다. 호수의 물속에서 전자기파의 손실을 무시할 때 입사파의 반사계수와 투과계수의 크기는? (단, $\epsilon_0$와 $\mu_0$는 각각 자유공간의 유전율과 투자율을 의미한다)

반사계수 투과계수

① 0.8 0.2

② 0.8 0.4

③ 0.2 0.8

④ 0.4 0.8

정답: ①

 

전자기파가 서로 다른 고유 임피던스를 가진 매질 경계면에 입사하면 에너지는 반사와 투과로 나뉩니다. 각 매질의 고유 임피던스($\eta$) 차이가 클수록 반사되는 성분이 많아집니다.

[해설 핵심]

• 자유공간의 고유 임피던스 $\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} = \eta_0 \approx 120\pi$.
• 호수 매질의 고유 임피던스 $\eta_2 = \sqrt{\frac{\mu_0}{81\epsilon_0}} = \frac{1}{9}\eta_0$.
• 반사계수 $\Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} = \frac{\frac{1}{9}\eta_0 - \eta_0}{\frac{1}{9}\eta_0 + \eta_0} = \frac{-8/9}{10/9} = -0.8$. 크기는 0.8입니다.
• 투과계수 $\tau = 1 + \Gamma = 1 + (-0.8) = 0.2$. 다만, 전계 기준 투과계수는 $1+\Gamma$이나, 에너지 보존과는 다른 개념이며 문제에서 요구하는 전계 투과계수의 크기는 0.2가 아닌 공식 $\tau = \frac{2\eta_2}{\eta_1 + \eta_2} = \frac{2/9}{10/9} = 0.2$로 계산됩니다.

 

 

 

문 19. 그림과 같이 토로이드 코어는 평균 자로 길이 $l = 80\pi$ [cm], 단면적 $S=4$ [cm²], 비투자율 $\mu_r=1,000$이고, 권선수 $N=2,000$회의 도선이 코어에 촘촘히 감겨 있다. 이 자기회로에 전류 $I = 2$ [A]를 흘렸을 때, 발생하는 자기에너지 [J]는? (단, 자성체는 충분히 자화되었다고 가정한다. $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ [H/m])

① 0.8

② 1.2

③ 1.6

④ 2.0

정답: ③

 

인덕터(코어)에 전류가 흐르면 주변에 자기장이 형성되며 에너지가 저장됩니다. 이 에너지는 인덕턴스($L$)와 전류($I$)의 제곱에 비례합니다.

[해설 핵심]

1. 자계의 세기 ($H$)
   $$H = \frac{NI}{l} = \frac{2000 \times 2}{80\pi \times 10^{-2}} = \frac{4000}{0.8\pi} = \frac{5000}{\pi} \text{ [A/m]}$$
2. 에너지 밀도 ($w$) 및 전체 에너지 ($W$)
   에너지 밀도 $w = \frac{1}{2}\mu H^2$이고, 전체 에너지 $W = w \times V$ (체적)입니다.
   
   체적 ($V$): $S \times l = (4 \times 10^{-4}) \times (80\pi \times 10^{-2}) = 3.2\pi \times 10^{-4} \text{ [m}^3\text{]}$
   $$W = \frac{1}{2} \mu H^2 \times V = \frac{1}{2} \times (1000 \times 4\pi \times 10^{-7}) \times \left(\frac{5000}{\pi}\right)^2 \times (3.2\pi \times 10^{-4})$$
   $$W = (2\pi \times 10^{-4}) \times \frac{25 \times 10^6}{\pi^2} \times (3.2\pi \times 10^{-4})$$
   
   
   $$\pi \text{들이 서로 약분되어 사라집다: } W = 2 \times 25 \times 3.2 \times 10^{-2} = 50 \times 0.032 = 1.6 \text{ [J]}$$

 

 

 

문 20. 단위 체적당 $19.99 \times 10^{28}$개의 원자로 구성된 자성체($\mu=2,000\mu_0$)에 자속밀도 $|\vec{B}| = 4\pi$ [Wb/m²]가 인가되었을 때, 원자가 모두 자화되어 동일한 자기쌍극자로 동작한다고 가정한다. 이때의 원자 한 개의 자기쌍극자 모멘트 [A․m²]는? (단, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ [H/m])

① $\frac{10^{-21}}{20.00}$

② $\frac{10^{-21}}{19.99}$

③ $\frac{10^{-22}}{20.00}$

④ $\frac{10^{-22}}{19.99}$

정답: ①

 

자성체 내부의 자화 세기($\vec{M}$)는 단위 체적당 자기쌍극자 모멘트의 합으로 정의됩니다. 인가된 외부 자속밀도와 매질의 투자율을 알면 전체 자화 세기를 구할 수 있고, 이를 원자 수로 나누어 개별 모멘트를 산출합니다.

[해설 핵심]

1. 자계의 세 ($H$)$$B = \mu H \Rightarrow 4\pi = 2000 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times H$$$$1 = 2000 \times 10^{-7} \times H \Rightarrow H = \frac{10^7}{2000} = 5000 \text{ [A/m]}$$
2. 자화의 세기 ($M$)$$M = (\mu_r - 1)H = (2000 - 1) \times 5000 = 1999 \times 5000 \text{ [A/m]}$$
3. 한 개당 모멘트 ($m$)$$m = \frac{M}{n} = \frac{1999 \times 5000}{19.99 \times 10^{28}}$$분자의 $1999 \times 5000$을 $19.99$가 보이게 변형하면 계산이 쉬워집니다.$1999 \times 5000 = 19.99 \times 100 \times 5000 = 19.99 \times 5 \times 10^5$$$m = \frac{19.99 \times 5 \times 10^5}{19.99 \times 10^{28}} = 5 \times 10^{-23}$$